Definición.
Sea
un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia
se llama función exponencial de base a y exponente x.


Como
para todo 
,la función exponencial es una función de
en
.





En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.
2.1.1 Teorema (Leyes de los Exponentes)
Sean a y b reales positivos y x,yÎÂ ,entonces:
1. 


2.

3.

4.

5.
.

6 .

Cuando a > 1 ,si x < y, entonces,
.Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial
de base a es estrictamente creciente en su dominio.

de base a es estrictamente creciente en su dominio.
Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces,
.

Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en
su dominio.

10.Si 0< a < b ,se tiene:


Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.
11. Cualquiera que sea el número real positivo 
,existe un único número real
tal que




Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.
2.1.2 Gráfica de la Función Exponencial
En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales.
En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales.
En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).
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Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial
(fig.1) no está acotada superiormente. Es decir ,
crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es ,
tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos.



Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial
(fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así,
crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y
tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos.



El hecho de ser la función exponencial
con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica), que se presentan en la próxima sección.

En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva.
Observación.
Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284….,la función exponencial
,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) =
.



2.1.3 Las Funciones Hiperbólicas
En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas combinaciones de las funciones
y
que por su interés y características especiales merecen ser consideradas con algún tratamiento. Tales combinaciones reciben el nombre de funciones hiperbólicas.
En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas combinaciones de las funciones


Aquí solamente, se definirán y presentarán algunas identidades básicas que las relacionan.
La función COSENO HIPERBÓLICO, denotada por coshx, se define:


La función SENO HIPERBÓLICO, denotada por senhx , se define:


A partir de éstas, se definen las funciones: TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE HIPERBÓLICA, de la siguiente manera:




A partir de la definición de las funciones hiperbólicas, es fácil demostrar, y se deja como ejercicio para el lector, las siguientes identidades con funciones hiperbólicas:
1.

2.

3.

4.

5.

6. senh2x =2senhx coshx
8.

9.

10.

11.

12.
